ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)

       ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพาราโบลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น ในกรณี ดีเจนเนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย และได้ผลของการตัดเป็น จุด เส้นตรง หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่านี้ไม่ได้ถูกรวมไว้ในภาคตัดกรวย

       ในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) นั้น ภาพฉายบนระนาบ ของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้นจะเหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะการฉาย หรือที่เรียกว่า การแปลงเชิงภาพฉาย (projective transformation) 

วงกลม 

      ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ต่างๆ ของเรามักมีลักษณะเป็นวงกลม เช่น ขันตักน้ำ หน้าปัดนาฬิกา จานข้าว ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วน้ำ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย และทั่ว ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลักษณะเป็นวงกลมนั้นให้ความสะดวก มากที่สุด ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อรถยนต์ ไม่มีลักษณะ เป็นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลำบากสักเพียงใด

วงรี 

      ยามค่ำคืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สุกสว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และหากสังเกตต่อเนื่องไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาวฤกษ์ ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ต่าง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ต่างก็ล้วนมีเส้นทางเป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็นดาวบริวารของดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นก็หมุนรอบโลก เป็นวงรี

กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : 
ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึ่ง

       นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุต่าง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็เดินทางเป็นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนั้น ๆ เราอาจนำเส้นโค้งแบบวงรีไปออกแบบเป็นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุกน้ำมันมักจะมีตัวถัง เป็นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีลู่แข่งขันกันก็มีลักษณะ เกือบเป็นวงรี

อิเล็กตรอน         ทางเดินของโลกและดวงดาวต่างๆ

ถังเปล            จานเปล

พาราโบลา 

      เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผิวโค้ง เพื่อรับสัญญาณที่ส่งตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จุดรับสัญญาณ เพื่อให้มีสัญญาณที่แรงขึ้น น้ำพุที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้น เป็นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสงเพื่อรวมลำแสงให้พุ่งเป็นลำตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุมสะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนี้เรียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทำให้มุมตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา

จานรับสัญญาณ         น้ำพุ  

ไฮเปอร์โบลา 

      ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสำคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทำต่อกัน ตามกฏของนิวตัน นั้นจะมีรูปร่างเป็นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่วมของทั้งสองวัตถุนั้นอยู่นิ่ง หากทั้งสองนั้นถูกดึงดูดอยู่ด้วยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็นรูปวงรี หากวัตถุทั้งสองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็นรูปพาราโบลา หรือ ไฮเปอร์โบลา

ลักษณะที่พบ

Flashlight Hyperbola            Flashlight Parabola 

หลังคาเป็นโค้งไฮเพอร์โบลา         ไฮเพอร์โบลา

     เส้นโค้งและผิวโค้งทางคณิตศาสตร์ยังมีอีกมาก และเป็นศาสตร์ที่สามารถนำมาใช้ในการออกแบบผลิตภัณฑ์ต่าง ๆ ได้มากมาย ลองค้นหาจากเอกสารต่าง ๆ ดูว่า เส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเหล่านี้มีลักษณะอย่างไร cycloid, cardioid Ephicycloid Hypocycloid spiral ฯลฯ 

     ประโยชน์ของเส้นโค้งหรือผิวโค้งจึงมีมากมายและเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันอย่างมาก เช่น ขณะขับรถไปในท้องถนน ถ้าวิศวกรออกแบบถนนให้มีส่วนโค้งของผิวถนนขณะขึ้นสะพาน และลงระนาบพอดี



สามารถค้นคว้าเนื้อหาเพิ่มเติมได้ที่
ติวฟรี.คอม

อ้างอิง 
เกษรา จันทรฑีโร : หมวดคณิตศาสตร์ โรงเรียนสตรีวิทยา 2